Darstellung der rational elliptischen Funktionen zwischen
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
ξ
=
1
,
1
{\displaystyle \xi =1{,}1}
Die rational elliptischen Funktionen stellen in der Mathematik eine Reihe von rationalen Funktionen mit reellen Faktoren dar. Sie werden zum Entwurf von Übertragungsfunktionen bei Cauer-Filtern in der elektronischen Signalverarbeitung verwendet.
Eine bestimmte rational elliptische Funktion wird durch ihre Ordnung
n
{\displaystyle n}
ξ
≥
1
{\displaystyle \xi \geq 1}
x
{\displaystyle x}
R
n
(
ξ
,
x
)
≡
c
d
(
n
K
(
1
/
L
n
)
K
(
1
/
ξ
)
c
d
−
1
(
x
,
1
/
ξ
)
,
1
/
L
n
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,x)\equiv \mathrm {cd} \left(n{\frac {K(1/L_{n})}{K(1/\xi )}}\,\mathrm {cd} ^{-1}(x,1/\xi ),1/L_{n}\right)}
wobei die Funktion
cd
(
⋅
)
{\displaystyle \operatorname {cd} (\cdot )}
jacobische elliptische Funktion darstellt, bestehend aus den cosinus amplitudinis und den delta amplitudinis .
K
(
⋅
)
{\displaystyle K(\cdot )}
elliptische Integral erster Art und
L
n
(
ξ
)
=
R
n
(
ξ
,
ξ
)
{\displaystyle L_{n}(\xi )=R_{n}(\xi ,\xi )}
Diskriminierungsfaktor dar, welcher für
|
x
|
≥
ξ
{\displaystyle |x|\geq \xi }
R
n
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,x)}
Für Ordnungen in der Form
n
=
2
a
3
b
{\displaystyle n=2^{a}3^{b}}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
analytische Funktionen ausgedrückt werden.
Für gerade Ordnung
n
{\displaystyle n}
Polynome , beide mit Ordnung
n
{\displaystyle n}
R
n
(
ξ
,
x
)
=
r
0
∏
i
=
1
n
(
x
−
x
i
)
∏
i
=
1
n
(
x
−
x
p
i
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,{\frac {\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n}(x-x_{pi})}}}
n
{\displaystyle n}
mit den Nullstellen
x
i
{\displaystyle x_{i}}
x
p
i
{\displaystyle x_{pi}}
r
0
{\displaystyle r_{0}}
R
n
(
ξ
,
1
)
=
1
{\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1}
Für ungerade Ordnung ergeben sich ein Pol bei
x
=
∞
{\displaystyle x=\infty }
x
=
0
{\displaystyle x=0}
R
n
(
ξ
,
x
)
=
r
0
x
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
−
x
i
)
∏
i
=
1
n
−
1
(
x
−
x
p
i
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,x)=r_{0}\,x\,{\frac {\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{i})}{\prod _{i=1}^{n-1}(x-x_{pi})}}}
n
{\displaystyle n}
ausgedrückt werden können.
Damit lassen sich die ersten Ordnungen der rational elliptischen Funktionen formulieren:
R
1
(
ξ
,
x
)
=
x
{\displaystyle R_{1}(\xi ,x)=x}
R
2
(
ξ
,
x
)
=
(
t
+
1
)
x
2
−
1
(
t
−
1
)
x
2
+
1
{\displaystyle R_{2}(\xi ,x)={\frac {(t+1)x^{2}-1}{(t-1)x^{2}+1}}}
t
≡
1
−
1
ξ
2
{\displaystyle t\equiv {\sqrt {1-{\frac {1}{\xi ^{2}}}}}}
R
3
(
ξ
,
x
)
=
x
(
1
−
x
p
2
)
(
x
2
−
x
z
2
)
(
1
−
x
z
2
)
(
x
2
−
x
p
2
)
{\displaystyle R_{3}(\xi ,x)=x\,{\frac {(1-x_{p}^{2})(x^{2}-x_{z}^{2})}{(1-x_{z}^{2})(x^{2}-x_{p}^{2})}}}
G
≡
4
ξ
2
+
(
4
ξ
2
(
ξ
2
−
1
)
)
2
/
3
{\displaystyle G\equiv {\sqrt {4\xi ^{2}+(4\xi ^{2}(\xi ^{2}\!-\!1))^{2/3}}}}
x
p
2
≡
2
ξ
2
G
8
ξ
2
(
ξ
2
+
1
)
+
12
G
ξ
2
−
G
3
−
G
3
{\displaystyle x_{p}^{2}\equiv {\frac {2\xi ^{2}{\sqrt {G}}}{{\sqrt {8\xi ^{2}(\xi ^{2}\!+\!1)+12G\xi ^{2}-G^{3}}}-{\sqrt {G^{3}}}}}}
x
z
2
=
ξ
2
/
x
p
2
{\displaystyle x_{z}^{2}=\xi ^{2}/x_{p}^{2}}
Weitere Ordnungen lassen sich dann mittels niedriger Ordnungen mittels der Verschachtelungseigenschaft bilden:
R
4
(
ξ
,
x
)
=
R
2
(
R
2
(
ξ
,
ξ
)
,
R
2
(
ξ
,
x
)
)
=
(
1
+
t
)
(
1
+
t
)
2
x
4
−
2
(
1
+
t
)
(
1
+
t
)
x
2
+
1
(
1
+
t
)
(
1
−
t
)
2
x
4
−
2
(
1
+
t
)
(
1
−
t
)
x
2
+
1
{\displaystyle R_{4}(\xi ,x)=R_{2}(R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x))={\frac {(1+t)(1+{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1+{\sqrt {t}})x^{2}+1}{(1+t)(1-{\sqrt {t}})^{2}x^{4}-2(1+t)(1-{\sqrt {t}})x^{2}+1}}}
R
5
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{5}(\xi ,x)}
R
6
(
ξ
,
x
)
=
R
3
(
R
2
(
ξ
,
ξ
)
,
R
2
(
ξ
,
x
)
)
{\displaystyle R_{6}(\xi ,x)=R_{3}{\bigl (}R_{2}(\xi ,\xi ),R_{2}(\xi ,x){\bigr )}}
Alle rational elliptischen Funktionen sind bei
x
=
1
{\displaystyle x=1}
1
{\displaystyle 1}
R
n
(
ξ
,
1
)
=
1
{\displaystyle R_{n}(\xi ,1)=1}
Bei der Eigenschaft der Verschachtelung gilt:
R
m
(
R
n
(
ξ
,
ξ
)
,
R
n
(
ξ
,
x
)
)
=
R
m
⋅
n
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{m}(R_{n}(\xi ,\xi ),R_{n}(\xi ,x))=R_{m\cdot n}(\xi ,x)}
Aus der Eigenschaft zur Verschachtelung folgt unmittelbar die obige Regel zur Angabe von bestimmten Ordnungen als rationale Funktion, da sich
R
2
{\displaystyle R_{2}}
R
3
{\displaystyle R_{3}}
n
=
2
a
3
b
{\displaystyle n=2^{a}3^{b}}
Die Grenzwerte der rational elliptischen Funktionen für
ξ
→
∞
{\displaystyle \xi \to \infty }
Tschebyschow-Polynome erster Art
T
n
{\displaystyle T_{n}}
lim
ξ
=→
∞
R
n
(
ξ
,
x
)
=
T
n
(
x
)
{\displaystyle \lim _{\xi =\rightarrow \,\infty }R_{n}(\xi ,x)=T_{n}(x)}
Es gilt allgemein:
R
n
(
ξ
,
−
x
)
=
R
n
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=R_{n}(\xi ,x)}
n
{\displaystyle n}
R
n
(
ξ
,
−
x
)
=
−
R
n
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,-x)=-R_{n}(\xi ,x)\,}
n
{\displaystyle n}
R
n
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,x)}
±
1
{\displaystyle \pm 1}
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq x\leq 1}
Es gilt allgemein
R
n
(
ξ
,
ξ
/
x
)
=
R
n
(
ξ
,
ξ
)
R
n
(
ξ
,
x
)
{\displaystyle R_{n}(\xi ,\xi /x)={\frac {R_{n}(\xi ,\xi )}{R_{n}(\xi ,x)}}}
Dies bedeutet, dass die Pole und Nullstellen paarweise auftreten müssen und der Beziehung
x
p
i
x
z
i
=
ξ
{\displaystyle x_{pi}x_{zi}=\xi \,}
genügen müssen. Ungerade Ordnungen weisen somit eine Nullstelle bei
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen . 2. Auflage. Springer, 2007, ISBN 978-3-540-49324-2 . .svg)
